设计一个算法，把一个含有 N 个元素的数组循环右移K 位
例如： abcd12345循环右移5位，得到12345abcd
第一次遇到这个问题，还是一个朋友当成考研题来问我的，并给出了进一步的限制：时间复杂度为O（N），且只允许使用两个附加变量。
后来在《编程珠玑》、《编程之美》上都看到了这道题
想来按照那个限制的难度，肯定是不会出现在考研卷上的吧，不适合做考题，所以就先无视这个限制
抛开各种算法不谈，就题目本身，也可以得到一些优化信息：
1.虽然题目是右移，但是左移的话也可以一样完成（数组长度为N，右移K位相当于左移N-K位）
在这种情况下，可以分别写出左移和右移的算法，然后根据K与N-K的大小关系，调用移动较少的那个
2.在K大于N的情况下，可以将右移K位简化为右移K%N位
自己当初也想出了多种烂算法，就当抛砖引玉啦，后面会附上几个大牛给出的做法
共有3个自己想的烂算法，3个大牛算法
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烂算法1：
是自己最先想到的算法，时间复杂度O(N)，空间复杂度O(1)
实际上是普通排序算法的变异，以两数交换为主，只不过临时变量做了小改动
还是以abcd12345右移5位为例：
a右移5位，跑到2的位置，同时临时变量记录2，此时原串变为abcd1a345
再从2的位置右移5位（位置取模），让2跑到b的位置，同时临时变量记录b，此时原串变为a2cd1a345
再从b的位置右移5位，让b跑到3的位置，同时临时变量记录3……
如此循环数组长度N次之后即可，有个缺点是取模运算比较多
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烂算法2：
想要避免取模运算，该怎么办呢？
干脆直接把数组叠两遍，变成abcd12345abcd12345，然后从第5个位置开始截取一段连续的就行了！
其实最后一个元素不用叠，到abcd12345abcd1234就足够了
需要三次memcpy，空间复杂度比其他算法高，需要新开辟空间
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烂算法3：
应该是最原始的算法，每次将原数组循环右移一次
temp=a[0]; for (i=0;i<length-1;++i) a[i]=a[i+1]; a[length-1]=temp;
移动距离为K就这么做K次
时间复杂度O(K*N)
===================笨蛋和牛人的分界线=========================
牛人提供的算法4：
如果有频繁的移位操作需求的话，干脆做一个封装用来获取元素，而不是直接取下标
这样的话所有的访问都从封装走，每次位置取个余就行了，直接一步到位了
时间复杂度O(1)，空间复杂度O(1)
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牛人提供的算法5：（个人认为是最佳算法）
对于abcd12345，将其根据位移长度（5）分为两部分，第一部分为第1个元素至第N-K个元素：
abcd和12345
然后先将这两个部分内部分别倒序，得到dcba 54321
然后再将整个数组倒序，就能得到结果12345abcd
这个大概是符合那位同学所说的“时间复杂度为O（N），且只允许使用两个附加变量”变态要求的答案了。
其原理为UV=((V-1) (U-1))-1（-1为上标，表示取逆）
真是太巧妙了。
顺便说一下，STL里面的rotate函数<algorithm>，就是用这种方法实现的
template<class _BidIt> inline
void _Rotate(_BidIt _First, _BidIt _Mid, _BidIt _Last, bidirectional_iterator_tag)
{
std::reverse(_First, _Mid);
std::reverse(_Mid, _Last);
std::reverse(_First, _Last);
}
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牛人提供的算法6：（很长很长，涉及数学理论，只好一股脑转载了。这也是一个时间复杂度O(N)的算法）
（将此算法与烂算法1进行对比，可深刻体会笨蛋与牛人的区别）
循环置换分解定理：对于给定数组A[0..N-1]向后循环换位N-K位运算，可分解为恰好gcd(K,N-K)个循环置换，且0,...,gcd(K,N-K)-1中的每个数恰属于一个循环置换。其中gcd(x,y)表示x和y的最大公因数。
我们从头开始分析这个问题，对于数组A[0..n-1]，要将其向后循环移动k位元素。因为每个元素右移n位后又回到了原来的位置上，所以右移k位等于右移k mod n位。考虑每个元素右移k位后的最终位置，比如对于A[0]，右移k位后在k mod n位置上，原来在k mod n位置上的元素右移k位后到了2*k mod n的位置上，把如此因为A[0]的移动而受到连环影响必须移动的位置列出来，就是下面这样一个位置序列：0,k,2*k,...,(t-1)k。其中每一项都是在模n的意义下的位置。t*k mod n 的结果是0。t是使得t*k mod n的结果为0的最小正整数。
这个位置序列实质上是模n加法群中由元素k生成的一个循环子群。由群论中的结论(该结论的证明见最后)知，循环子群(k)的周期为n / gcd(k,n)，元数为n / gcd(k,n)，其陪集个数为gcd(k,n)。换句话说，A[0..n-1]循环右移k位的结果是循环子群(k)以及它的所有陪集循环右移一位。例如，将A[0..5] = {1,2,3,4,5,6}循环右移4位，这里n = 6, k = 4, gcd(k, n) = 2。A[0]的最终位置是4,A[4]的最终位置是2,A[2]的最终位置是0，这样，位置0,4,2便是由k=4生成的循环群，周期为6 / gcd(4,6) = 6 / 2 = 3，这样的循环子群共有gcd(4,6) = 2个。
完整代码如下：
// 数组的循环移位
#include <cstdio>
int gcd(int m, int n) {
int r;
while(r = m % n) {
m = n; n = r;
}
return n;
}
void shiftArray(int A[], int n, int k) {
// 因为左移的代码比右移的代码好实现的多，而右移k位
// 等价于左移-k位，-k = n - k。以下代码是通过左移-k位来实现右移k位
k = n - (k % n);
for(int i = 0, cnt = gcd(n, k); i < cnt; i++) {
int t = A[i], p = i, j = (k+i) % n;
while(j != i) {
A[p] = A[j]; p = j; j = (k + p) % n;
}
A[p] = t;
}
}
void printArray(int A[], int n) {
for(int i = 0; i < n; i++) {
printf("%-3d", A[i]);
if((i+1)%10 == 0) printf("/n");
}
}
int main() {
int A[] = {1,2,3,4,5,6, 7};
shiftArray(A, 7, 4);
printArray(A, 7);
return 0;
}
上述所用到的那个群论结论的证明：
结论：设G是一个循环群，其中一个生成元素为a，若r和n的最大公约数为d，则a^r的周期为n / d。
在模n加法群中，1是一个生成元素，任意元素k=1*k，所以任意元素k生成的循环子群(k)的周期为n / gcd(k,n)。因为gcd(k,n)=gcd(k,n-k)，所以也可以写成n / gcd(k, n-k)。